生成矩阵

下图是Arikan论文中的编码示意图，好像挺复杂，不过看不懂也没关系。我们来看一下编码过程中都做了哪些事。

首先是向量元素的翻转，通过翻转矩阵$R_N$来实现。然后是信道的联合和信道的分裂。论文中将这个翻转过程简化为矩阵运算，这就为我们进行程序仿真提供了方便：

其中:

$B_N$为排序矩阵，以N=8为例来看它的作用：

转化过程为：将向量下标减一后，转化为二进制数——将得到的二进制数反序排列——将反序后的二进制数转化为十进制数，加一
例：

我们通过$B_N$的递推式可以求得$B_N$，再将其与$F$的$n$次克劳尼克积相乘，就能够得到生成矩阵。
这样说你明白了吗？什么？没有？？？
不错，说明你是个正常人。实际编码的时候，如果真的在matlab中将上述过程模拟一遍来求生成矩阵的话，是非常耗时耗力的。我们还有另外一条路可以走——找规律。

上式为$G_N$的原始求解方法，其中$I$为单位矩阵，$F$定义为$\left[\begin{smallmatrix} 1&0 \\ 1&1 \end{smallmatrix}\right]$。$R_N$为翻转矩阵，对于，有：$A_N=(I_{N/2} \otimes F) \times R_N$，有：
N=4：

N=8：

可以发现$A$的元素排列十分有规律。前$N/2$列元素总是奇偶成对出现“1”，后$N/2$元素仅出现在偶数位，且与同处在一行的前一个“1”保持固定距离。根据此规律编写程序如下：

规律

for i = 1 : N/2             
    A(2 * i - 1, i) = 1;
    A(2 * i, i) = 1;
    A(2 * i, N / 2 + i) = 1;
end

递归部分：

递归调用

1 2	G = A * kron(eye(2),Gpre); %Gpre即上一层递归所得生成矩阵 Gpre = G;

封装成函数

function GN = G(n)
    N = 2 ^ n;   
    Gpre = 1;
    for i=1:n　　　　　　　%每一层递归都相当于计算一个新的生成矩阵
        Ni = 2 ^ i;　　　　%这个新的生成矩阵的维度为 Ni/2
        G = zeros(Ni);
        %Fn = zeros(Ni);
        A = zeros(Ni);
        for j = 1 : Ni / 2
            A(2 * j - 1 , j) = 1;
            A(2 * j , j) = 1;
            A(2 * j , Ni / 2 + j) = 1;
        end
        G = A*kron(eye(2),Gpre);
        Gpre = G;
    end
    GN = G;
end

挑选信息位

信道极化过程中，有一部分信道的信道容量 I(W) 可以到达1，另一部分则趋近于0。信道容量反映了信道无失真传输的最大信息率，我们可以通过计算联合、分裂后各信道的信道容量并对它们进行排序，然后根据码率，选择排序靠前的信道作为信息传输的信道，剩余的信道用来传输冻结位。
另一种方法是计算巴氏参数Z(W)，对于一个给定信道，巴氏参数越大说明该信道越不可靠。因此我们只需计算出联合、分裂后信道的巴氏参数，并对它们进行排序，然后根据码率选择巴氏参数较小的信道作为信息位，剩余信道作为冻结位。Arikan论文中给出了巴氏参数的递归求解办法，这使得我们能够很方便的通过编程实现信息位的选取。

计算巴氏参数

% 将巴氏参数计算过程封装在函数B_para之中方便调用，Z为数组，作为实参传递进来。数组中只有第一个元素。Z第一个元素可以通过计算得到，计算公式为Z(1) = 2*(p*(1-p))^0.5;
function y = B_para(Z)
for i = 1 : log2(N)         %迭代次数，N为码长
    Z_pre = Z;              %z_pre为上一层信道巴氏参数
    for j = 1 : 2^(i-1)     %本层运算使用的下标
        Z(2*j-1) = 2*Z_pre(j) - Z_pre(j)^2;
        Z(2*j) = Z_pre(j)^2;    %递推公式
    end
end　　
y = z;　　　　% y作为实参从函数中传递出去，y就是最终的巴氏参数

得到巴氏参数序列后，下面的操作就是将此序列进行排序，并根据码率确定信息位和固定位。

挑选信息位

1
2
3

[Z_in_order,index] = sort( y );            %将巴氏参数从小到大排列
signal_index = sort( index( 1:S ) );    　　%前S位作为信息位
frozen_index = sort( index( s+1:end ) );    %后面的作为冻结位

得到了生成矩阵，确定了信息位冻结位，下面要做的就是进行编码：

编码

for j=1:block　　　　               %对每一个码块都要进行编码处理
    encoded(1,((j-1)*N+1):(j*N)) = signal(((j-1)*S+1):(j*S))*G(signal_index,:) + frozen(((j-1)*F+1):(j*F))*G(frozen_index,:);
end　　　　　　　　　　　　　　　　　　%进行编码
encode = mod(encode,2);     　      %调制
encode = 2 * encode - 1;　　　
encode = encode + noise;

数组 encode 就是我们得到的编码矩阵。下一节我们要探讨的是polar code中非常重要的译码部分——连续消除译码（SC译码）。